|
微积分方程拉开了现代数学和现代物理的但我，必须不能让各位一脸懵逼的出去。 微分的解释在书上说的很详细，各种啪啪啦啦的描述，我可以详细的把他们摘录下来。但这明显有违我的初衷，因为我摘录下来很多人也看不懂，包括我自己。但从各种书刊论文的字里行间中我隐约地看出两个字符，那就是dy/dx。 我们可以认为一个函数在某一点的微分方程解就是该点的Y向量除以该点的X向量。 1. 导数微分的描述为dy/dx。 2. 3. 微分,实质还是极限。 4. 示波器可以极快的分割波形的X和Y向量，所以可以用示波器来验证波形的微分方程解。 我选用FreeTest的示波器来做详解。大家也可以称它为"牛顿.莱布尼兹.示波器"。Freetest无线示波器 6 F" t: f' U- w6 @( K
2 @3 b6 h( S* p- o5 n
SIN的微分解先来上一个基础的sin(a)波形。这个大家应该都知道微分方程解是cos(a)。什么？你不知道，那就假装知道吧，给我一个台阶下。 示波器内置的数学运算
8 B. A, F/ Q8 g6 J( M
+ F8 Z& M/ n+ e+ t
图中，蓝色波形是采集的sin正弦波信号，红色是经过示波器微分处理后的cos信号。 详细的数学求解公式来一波。学霸的往下看，和我一样是学渣的直接跳过看结果。 <sin的微分求解过程开始>(sina)'=lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b 因为sin(a+b)=sinacosb+cosasinb 这里b无穷小,有cosb=1. 于是lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b =lim(b->0)[cosasinb]/b 当b无穷小,有sinb/b=1.所以 lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b =cosa <sin的微分求解过程完成> 结论：和示波器显示的完全一样，cos(a)。 直线的微分解我们知道常量的微分解是0，那么，直线的微分解呢？ 测量直线波形并求微分（三角波的一个斜率）
/ N# d. d8 Z2 K% K+ @1 o% Q
; q+ l2 x: r( ^' S7 n* [
结论：直线的微分方程是一个常量。 这个的求解过程我就不发出来了，怕被各位嘲笑。 三角波的微分解三角波是由两条直线组成，按照直线的微分是一个常量的描述，那么三角波的微分就应该是两个不同的常量间隔组成。来，上图验证下。 三角波及其微分运算结果 : d2 q8 [( g5 ~9 C. ]" B1 g
4 ?. h, Y/ ]9 K# F% I" L
结论：三角波的微分是个方波。 方波的微分解方波可以认为是常量加跃变合成的波形，按照"微分,实质还是极限"这个定义来看，常量部分应该是0，然后上升沿部分应该是个正脉冲，下降沿部分应该是个负脉冲。 方波及其微分运算结果 ! s6 _0 N# L* e4 ?- b/ e$ j
2 S( {0 F7 |6 E0 Z6 R% Q# o! D) @
结论：上面的推论是正确的。 指数的微分解指数函数稍微复杂点。 指数函数及其微分运算结果 ; `, q, a5 f6 @) e" |. E
! P- |( s$ @5 ~ ~
我们排除跃迁部分，单看一个周期的指数函数。可以发现，红色微分波形其实也是一个指数函数，但变化幅度没有原本指数变化的快。 结论：指数函数的微分解为(a^x)'=a^xlna。 洛伦兹脉冲高斯线型和洛伦兹线型是常用在光谱中描述峰形状的曲线。 洛伦兹线型函数的简单形式为：L=1/(1+x^2)。
& R% N1 q3 R% [! J( h8 ]$ C4 ?8 v$ e) @# b8 X; `3 M
如上图所示。但微分方程我暂时不会解。 调频正弦波结论：调频正弦波的微分解是个调频余弦波。这个大家可以尝试着思考下。 9 `- r8 u) P8 e5 k; h0 K2 y
u* u, c2 A/ R1 G* X W
我们再来看几个方程式比较复杂的波形，这个我就不简述他们的求解过程了。 辛克脉冲5 k' Q7 R/ f( ?( C, m9 u
5 l( h$ ~) C9 ?+ g4 a5 F! g3 m9 l
多级合成波- Q. h0 } N; N# i
1 T$ r5 c1 G' z5 G" C" e
噪声
( @3 |# w1 c* w* c" l. u! z, }8 G% O2 Z6 w. F
噪声其实是最复杂的方程组集合，当然其微分解也必然是各种方程组的集合。结果，看起来就又是一个噪声了。 ----------------- 最后，看看使用的设备是什么： 泰思科技的无线示波器
( i& W- U# e0 m: I | 
发表于 2019-9-25 13:56:58
